TURUNAN

rumus Turunan Fungsi, Contoh Soal, Konsep, Cara Menentukan, Persamaan Garis Singgung, Kecepatan Sesaat, Bilangan Rasional, Pembahasan, Notasi Leibnitz, Matematika - Pembahasan limit fungsi yang telah Anda pelajari di materi sebelumnya dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsi karena dengan mengetahui turunan fungsi, Anda dapat mempelajari sifat-sifat fungsi. Sifat-sifat fungsi tersebut misalnya, kemonotonan fungsi, ekstrim fungsi, kecukupan fungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkan turunan fungsi dengan kecepatan sesaat serta dapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasi permasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut. Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan Q(v) = x² + 2x - 20 liter. Dengan memahami konsep turunan, Anda dapat menentukan jumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun. 

Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut.

A. Konsep Turunan

Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

1. Garis Singgung

Amati Gambar 1.

Gambar 1. Grafik persamaan garis singgung.

Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat (a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan)  . Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda.

Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien :

 ...(1)

Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x?

Gambar 2. Garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x.

Contoh Soal 1 :

Tentukan gradien garis singgung pada kurva

a. f(x) = x² di titik dengan absis 2

b. f(x) = x³ di titik dengan absis 3

Penyelesaian :

a. 

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.

b.

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x³ di titik dengan absis x = 3 adalah m = 27.

2. Kecepatan Sesaat

Misalkan, fungsi f(x) = 15x² + 20x menyatakan jarak (dalam km) yang ditempuh sebuah mobil setelah x jam perjalanan selama selang waktu 0 ≤ x ≤ 2. Kecepatan rata-rata mobil itu selama perjalanannya adalah :

= 50 km/jam

Sekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c ≤ x ≤ d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 1.

Tabel 1.  Kecepatan rata-rata mobil dalam selang c ≤ x ≤ d

Selang Waktu
0 – 1	35
0,8 – 1	47
0,9 – 1	48,5
0,99 – 1	49,85
0,999 – 1	49,9850
0,9999 – 1	49,9985
1 – 1,0001	50,0015
1 – 1,001	50,015
1 – 1,01	50,15
1 – 1,5	57,5
1 – 2	65

Amati tabel tersebut. Nilai  mendekat ke bilangan 50 jika lebar selang waktunya dibuat semakin mengecil (Δx mendekati nol). Nilai 50 tersebut disebut kecepatan (sesaat) pada x = 1.

Sekarang, dapat dipahami bahwa kecepatan sesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau Δx dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada x = 1 ditulis :

Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan kecepatan sesaat v di x = a? Cobalah nyatakan dengan katakata Anda sendiri. Uraian tersebut menggambarkan definisi kecepatan sesaat v di x = a, yaitu

...(2)

Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Anda menyebut kemiringan dari garis singgung dan kecepatan sesaat adalah kembaran identik. Amatilah kedua rumus tersebut, yaitu rumus (1) dan (2). Kedua rumus tersebut menggunakan nama berlainan untuk konsep yang sama, tetapi dalam situasi yang berlainan.

Gambar 3. Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsi f(x) = 15x² + 20x. Berapakah kecepatan rata-ratanya?

Contoh Soal 2 :

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x³ + x² , dengan f(x) dinyatakan dalam meter.

a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3.

b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?

Pembahasan :

a. 

Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b. 

Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

3. Turunan Fungsi di x = a

Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka :

Jika  ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x) di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,

Contoh Soal 3 :

Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f (x) = x² – x , tentukan f'(5).

Jawaban :

Contoh Soal 4 :

Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x² + x 

b. f(x) = cos x

Penyelesaian :

a. f(x) = x² + x

b. f(x) = cos x

Contoh Soal 5 :

Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.

Jawaban :

Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas =

L = p × l = 3l . l = 3l².

Jadi, L = f (l) = 3l².

Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).

4. Mengenal Notasi Leibnitz

Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f '(x). Nilai Δx menyatakan perubahan nilai x, yaitu Δx = x² – x1. Adapun perubahan f(x + Δx) – f(x) menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan dengan Δf. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan menjadi :

.

Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu df/dx . Diketahui fungsi :

y = f(x)    ....(1)

sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi :

Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz.

Contoh Soal 6 :

Misalkan f(x) = x³ , tentukanlah :

a. df / dx

b. nilai x sehingga df / dx = 12

Penyelesaian :

a.

b. df / dx = 3x² maka 3x² = 12 ↔ x = ± 2.

Jadi, nilai x yang memenuhi df / dx = 12 adalah x = ± 2.

Contoh Soal 7 :

Sebuah benda bergerak sehingga jarak yang ditempuh memenuhi persamaan s = f(t) = t² – 3t. Tentukanlah laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu t. Tentukanlah nilai t sedemikian sehingga laju perubahan jarak terhadap waktu adalah 15.

Penyelesaian :

Laju perubahan sesaat jarak terhadap waktu adalah :

Apabila laju perubahan jarak terhadap waktu sama dengan 16, diperoleh :

df / dx = 2t – 3 ↔ 15 = 2t – 3

↔ 2t = 18 ↔ t = 9

Jadi, laju perubahan sama dengan 15 terjadi pada saat t = 9 sekon.

B. Cara Menentukan Turunan Fungsi

Proses mendapatkan turunan suatu fungsi secara langsung yang menggunakan definisi turunan, yaitu dengan menyusun hasil bagi selisih  dan menghitung limitnya, memakan waktu dan membosankan. Tentunya, Anda perlu mengembangkan cara atau proses yang akan memungkinkan

Anda untuk memperpendek proses yang berkepanjangan itu.

Untuk itu, pelajari uraian berikut ini.

1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axⁿ

Misalkan, fungsi f(x) = axⁿ dengan n = 1, 2, dan 3. Untuk n = 1, diperoleh f(x) = ax dan turunan fungsi tersebut adalah :

Untuk n = 2, diperoleh f (x) = ax² dan turunan fungsi tersebut adalah :

Dengan cara yang sama, coba Anda cari turunan fungsi :

f(x) = ax³ , f(x) = ax⁴ dan f(x) = ax⁵.

Anda dapat menurunkan hal seperti ini untuk fungsi-fungsi berikut.

f(x) = ax⁶, f ‘(x) = 6ax⁵

.

.

.

f(x) = ax¹⁵, f ‘(x) = 15ax¹⁴

.

.

.

f(x) = axⁿ, f ‘(x) = nax^{n – 1}

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ , dengan n bilangan asli maka f '(x) = nax^{n – 1}. Untuk n = 0, f(x) = axⁿ menjadi f(x) = ax⁰ = a. 

Fungsi f(x) = a dinamakan fungsi konstan sehingga untuk berapa pun nilai x, nilai fungsinya tetap, yaitu a. Turunan fungsi konstan adalah :

sehingga rumus tersebut berlaku untuk n bilangan bulat sebagai berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ dengan n bilangan bulat maka f '(x) = anx^{n – 1} untuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.

Contoh Soal 8 :

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut ini.

a. f(x) = x⁴ 

b. f(x) = –8x³

Jawaban :

a. f(x) = x⁴ maka f '(x) = 4x^4–1 = 4x³

b. f(x) = –8x³ maka f ' (x) = –8(3)x^3–1= –24x²

Contoh Soal 9 :

Tentukan df/dx untuk fungsi-fungsi berikut.

a. f (x) = ½ x²

b. g (x) = 

Jawaban :

Contoh Soal 10 :

Diketahui tinggi badan seorang anak pada usia 11 tahun sampai 12 tahun adalah tetap, yaitu T(t) = 120 cm. Tentukanlah laju pertumbuhan (laju pertumbuhan sesaat) tinggi badan anak tersebut. Jelaskan.

Pembahasan :

Tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahun tetap. Oleh karena itu, T(t) = 120 adalah fungsi konstan sehingga T ‘(t) = 0. Dengan kata lain, laju pertumbuhan tinggi badan anak tersebut adalah nol atau tinggi badan anak tersebut pada usia 11 tahun sampai 12 tahun tidak mengalami perubahan.

2. Menentukan Turunan Fungsi si f(x) = axⁿ dengan n Bilangan Rasional

Misalkan, f(x) = , turunan fungsi f(x) adalah :

Dengan cara yang sama seperti di atas, coba Anda cari turunan fungsi f(x) =  dan f(x) =  5.

Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi f(x) = axⁿ ? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi f(x) = axⁿ yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, f(x) = axⁿ , dengan n bilangan rasional maka turunannya adalah f '(x) = nax^{n – 1}.

Contoh Soal 11 :

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.

a. f(x) = 

b. f(x) = 

c. f(x) = 

Jawaban :

3. Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real. Dengan demikian,

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v'

Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan bahwa untuk y = u – v maka y' = u' – v'.

Contoh Soal 12 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f (x) = x3 – 3x2

b. f(x) = 3x + 

c. f(x) = sin x + cos x

Jawaban :

a. f(x) = x3 – 3x2 maka f '(x) = 3x2 – 6x

b. f(x) = 3x +  = 3x + x–1 maka f '(x) = 3 – x–2= 3 – 

Contoh Soal 13 : Soal UMPTN 1997

Diketahui :

f(x) = 3x² – 5x + 2

g(x) = x² + 3x – 3

Jika h(x) = f(x) – 2g(x) maka h’ (x) adalah....

Penyelesaian :

h(x)= f(x) – 2g(x)

= 3x² – 5x + 2 – 2 (x² + 3x – 3)

= x² – 11x + 8

h’(x) = 2x – 11

4. Turunan Fungsi y = c . u

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real sehingga :

Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'.

Contoh Soal 14 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f(x) = 3x²

b. f(x) = 

c. f(x) = 3 cos x

d. f(x) = 

Jawaban :

a. f(x) = 3x² maka f '(x) = 6x

b. f(x) =  = –8x–1 maka f '(x) = 8x –2 = 

c. f(x) = 3 cos x maka f ‘(x) = –3 sin x

d. 

5. Turunan Fungsi y = uv

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu :

Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a bilangan real sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a). Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.

Contoh Soal 15 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f(x) = (5x² – 1) (3x – 2)

b. f(x) = cos x sin x

Pembahasan :

a. f(x) = (5x² – 1) (3x – 2)

Misalkan, u = 5x² – 1 maka u' = 10x dan v = 3x – 2 maka v' = 3 sehingga

f '(x) = u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x) = (5x2 – 1) . 3 + (3x – 2) . 10x

= 30x² – 20x + 15x² – 3 = 45x² – 20x – 3

b. f(x) = sin x cos x

Misalkan, u(x) = sin x maka u'(x) =  cos x dan v(x) = cos x maka v'(x) =  -sin x 

sehingga f '(x)= u (x) . v' (x) + v (x) . u' (x)

= sin x (– sin x) + cos x . cos x

= cos² x – sin² x = cos² x – (1 – cos² x)

= 2 cos² x – 1 = cos 2x

Contoh Soal 16 : Soal UMPTN 1999

Turunan dari y = (1 – x)²(2x + 3) adalah ....

Jawaban :

Misalkan, u = (1 – x)² maka

u ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 – x).

Misalkan, v = (2x + 3) → v ‘ = 2

y = uv

y ‘= u’v + uv’

= –2(1 – x)(2x + 3) + (1 – x)²(2)

= 2(1 – x)[(–2x – 3) + (1 – x)]

= 2(1 – x)(–3x – 2)

= 2(1 – x)(–1)(3x + 2)

= 2(x – 1)(3x + 2).

6. Turunan Fungsi y = uⁿ

Diketahui y = f(u) dengan f(u) = uⁿ dan u = g(x). Jika fungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real maka :

Oleh karena a bilangan real sebarang maka :

Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh :

Untuk Δx mendekati nol maka Δu mendekati nol sehingga :

f(u) = un, f '(u) =nu^{n – 1} sehingga y'(x) = nu^{n – 1} u'(x).

Untuk y = un , maka y' = nu^{n – 1} u'(x).

Contoh Soal 17 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f(x) = (2 + 3x²)⁹

b. f(x) = (5 + 2x)³ + 

c. c. f(x) = 3 sin³  2 cos² 

Jawaban :

a. f(x) = (2 + 3x²)⁹

Misalkan, u = 2 + 3x² maka u’(x) = 6x sehingga f (x)= u⁹

f ‘(x) = 9u⁸ . u’(x) = 9(2 + 3x²)⁸ .6x = 54x(2 + 3x²)⁸

b. f(x) = (5 + 2x)³ +  = (5 + 2x)³ + (2x + 1)^1/2

f '(x) = 3(5 + 2x)² · 2 +  (2x + 1)^1/2 . 2 = 6(5 + 2x)² +  

c.  

7. Aturan Rantai

Perhatikan kembali uraian materi tentang fungsi y = uⁿ. Dari uraian tersebut, diperoleh bahwa untuk y = f(u) = uⁿ dengan u = g(x) maka turunannya y' =  nu^{n – 1} u'(x). Hasil tersebut menggambarkan aturan rantai.

Misalkan, y = f(u) dan u = g(x).

(f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y

Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y = f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut. (f o g)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)

atau 

Contoh Soal 18 :

Tentukan turunan fungsi y = 

Pembahasan :

Misalkan, u =  maka y = u⁶.

8. Turunan Fungsi y = u/v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) =  , dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka :

Oleh karena itu, jika y = f(x) =  dengan a sebarang bilangan

real sehingga berlaku f '(a) = 

maka f '(x) = 

Untuk y = u/v , berlaku y' = 

Contoh Soal 19 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f(x) = cosec x

b. f(x) = tan x

Pembahasan :

a. f(x) = cosec x = 

Misalkan u = 1 maka u' = 0 dan v = sin x maka v' = cos x.

b. f(x) = tan x =  Misalkan u = sin x maka u' = cos x dan v = cos x maka v' = – sin x.

f '(x) = sec² x.

Contoh Soal 20 :

Tentukan turunan fungsi berikut.

a. f(x) = 

b. f(x) = 

Pembahasan :

a. Misalkan, u = x – 2 maka u' = 1 dan v = x + 2 maka v' = 1.

b. f(x) = 


Misalkan, u = (x – 1)³(2x + 3) maka u’ = 3(x – 1)²(2x + 3) + (x –1)³(2) v = 2x² maka v’= –4x.

Contoh Soal 21 (Soal UMPTN 1997) :

Jika f(x) =  , maka turunan f –1(x) adalah ....

Kunci Jawaban :

Contoh Soal 22 :

Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal 10 m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t) = 30t – 6t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang diukur dalam meter.

a. Carilah kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.

b. Kapan peluru berhenti?

Jawaban :

Diketahui:

Kecepatan awal peluru = 10 m/detik.

Kedudukan peluru pada t detik = h(t) = 30t – 6t².

Ditanyakan:

a. Kecepatan peluru pada saat 1,5 detik.

b. Kapan peluru berhenti.

Penyelesaian :

a. Dalam fisika, kecepatan merupakan turunan dari kedudukan terhadap waktu sehingga v(t) = h'(t) = 30 – 12t. Jadi, kecepatan peluru pada saat t = 1,5 adalah :

v(1,5) = 30 –12(1,5) = 12 m/detik.

b. Peluru akan berhenti ketika kecepatannya nol sehingga v(t ) = 0

↔ 30 – 12t = 0

↔ t = 2,5.

Jadi, peluru berhenti pada saat 2,5 detik.

C. Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Telah Anda ketahui bahwa kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah :

Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x₁, y₁) dengan gradien m adalah :

y – y₁ = m(x – x₁)

Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada kurva adalah :

y – f(a) = f '(a) (x – a)

Contoh Soal 23 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.

a. f(x) = x² di titik (–2, 4)

b. y = x³ di titik yang memiliki absis x = 1 dan x = 2.

Jawaban :

a. Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x² di titik (–2, 4) adalah y – 4 = f '(–2) (x – (–2)).

f(x) = x² maka f '(x) = 2x sehingga f '(–2) = 2(–2) = –4

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x² di titik (–2, 4) adalah y – 4 = –4 (x + 2) ↔ y = –4 x – 4.

b. Untuk absis x = 1.

Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x³ adalah :

y – f (1) = f '(1) (x – 1)

f(1) dan f '(1) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x³ maka :

f(1) = 1³ = 1.

f '(x) = 3x² sehingga f '(1) = 3 . 1² = 3

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x³ di titik (1, 1) adalah y – 1 = 3 (x – 1) ↔ y = 3x – 2.

Untuk absis x = 2.

Persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x³ adalah :

y – f(2) = f '(2) (x – 2)

f(2) dan f '(2) ditentukan sebagai berikut: f(x) = x³ maka :

f(2) = 2³ = 8.

f '(x) = 3x² sehingga f '(2) = 3 . 2² = 12

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x³ di titik (2,8) adalah y – 8 = 12(x – 2) ↔ y = 12x – 16.

Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva jika Gradien Garis Singgung Diketahui 

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva apabila gradien garis singgung diketahui, pelajari beberapa contoh berikut.

Contoh Soal 24 :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva berikut.

a. y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x² + 6x

b. y=f(x) dengan f(x) = 2x³ yang tegak lurus terhadap garis y = 

Pembahasan :

a. Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (1, 4), menurut rumus adalah y – f (1) = f '(1) (x – 1). Diketahui f(1) = 4 dan f '(x) = 3x² + 6x maka :

f '(1) = 3 . 1² + 6 . 1 = 9.

Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah y – 4 = 9 (x – 1) ↔ y = 9x – 5.

b. Jika g: y = mx + n adalah garis singgung pada kurva y = 2x³ dan tegak lurus terhadap garis h: y =  maka m () = –1

↔ m = 24.

Persamaan garis singgung pada kurva y = 2x³ adalah y – f(x₁) = f '(x1) (x – x₁  dengan x₁ absis titik singgung pada kurva y = 2x³ .

Selanjutnya, nilai x₁ ditentukan sebagai berikut.

f '(x) = 6x² maka f '(x₁) = 6x₁².

Diketahui f '(x₁) = 24 sehingga 6x₁² = 24 ↔ x₁

2 = 4 ↔ x₁ = ± 2.

Untuk x₁ = 2, diperoleh f (x₁) = 2 . 2³ = 16. Persamaan garis

singgung yang tegak lurus terhadap garis y =  adalah :

y – 16 = 24 (x – 2) ↔ y = 24x – 32.

Coba Anda tentukan persamaan garis singgung untuk x₁ = –2. 

Contoh Soal 25 Soal UMPTN 2001 :

Kurva y = (x² + 2)² memotong sumbu-y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di A  ....

Penyelesaian :

A adalah titik potong kurva y = (x² + 2)² terhadap sumbu-y.

absis x_A = 0

y_A = (0 + 2)² = 4

m =  = 2(2x)(x² + 2)

m_A = 2(0)(0 +2) = 0

Persamaan garis singgung :

y – y_A = m_A(x – x_A)

y – 4 = 0 ↔ y = 4

D. Turunan Kedua


Anda telah mempelajari turunan pertama fungsi yang dinotasikan dengan :

 atau y' atau  atau f '(x)


Fungsi turunan dari turunan pertama dinamakan fungsi turunan kedua yang dinotasikan dengan :

 atau ditulis y"

 atau ditulis f "(x)

Turunan kedua fungsi f(x)

 atau y" atau  atau f "(x)

Contoh Soal Turunan Kedua 26 :


Tentukan turunan kedua untuk fungsi berikut.

a. f(x) = 2x4 – 5x

b. f(x) = x sin x

Pembahasan :

a. f(x) = 2x⁴ – 5x

f ‘(x) = 8x³ – 5

f “(x) = 24x²

Turunan kedua fungsi f(x) = 2x⁴ – 5x adalah f''(x) = 24x².

b. f(x) =  sin x

f '(x) =  sin x +  cos x =  sin x + cos x

f "(x) = -  sin x +  cos x =  cos x -  sin x

f "(x) = -  sin x +  cos x -  sin x

Turunan kedua dari f(x) =  sin x adalah :

f "(x) = -  sin x +  cos x -  sin x

Contoh Soal 27 :


Sebuah benda yang bergerak lurus pada lintasan (s) memenuhi persamaan t³ – 6t² + 30t. Dalam hal ini, s dalam meter dan t dalam detik.

a. Hitunglah panjang lintasan pada saat t = 3 dan t = 5.
b. Tentukan kecepatan dan percepatan benda setelah t = 4 detik.
c. Hitunglah laju pada waktu percepatannya nol.

Jawaban :

a. Pada saat t=3, panjang lintasannya adalah :

s(3) = 3³ – 6.3² + 30.3 = 63 meter

Pada saat t = 5, panjang lintasannya adalah

s(5) = 5³ – 6.5² + 30.5 =125 meter

b. s = t³ – 6t² + 30t

Kecepatan v =  = 3t² – 12t + 30

Kecepatan pada t = 4 sekon adalah v(4) = 3.4² – 12.4 + 30 = 30 m/detik

Pecepatan a =  =  = 6t – 12


Percepatan pada t = 4 sekon adalah a(4) = 6.4 – 12 = 12 m/detik²

c. a = 0 maka 6t – 12 = 0 ↔ t = 2

v(t) = 3t² – 12t + 30, untuk t = 2 maka v(2) = 3.2² – 12.2 + 30 = 18 m/detik

E. Teorema L’ Hopital

Jika x = a disubstitusikan ke bentuk  diperoleh bentuk tak tentu  atau  , Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis (1661–1704 M).

Definisi Soal 28 :

Jika  f (x) = 0,  g (x) = 0, serta  ada, baik terhingga atau tak hingga maka  :



Perluasan teorema L'Hopital adalah :



(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk ).

Contoh Soal 29 :

Tentukan limit fungsi berikut.

a. 

b. 


Jawaban :

a. Jika dengan menggunakan substitusi langsung, diperoleh :

 (bentuk tak tentu)

Dengan teorema L' Hopital, diperoleh :



b. Jika menggunakan substitusi langsung diperoleh :

 

 

 

SUMBER:

 http://perpustakaancyber.blogspot.co.id/2013/05/rumus-turunan-fungsi-contoh-soal-konsep-cara-menentukan-persamaan-garis-singgung-kecepatan-sesaat-bilangan-rasional-pembahasan-notasi-leibnitz-matematika.html